Polylogarithm Function

1.

\[\begin{gather*}\int \frac{\ln^{p}(x)}{x^{n}\cdot(1-x)^{m}}\,{\text{d} x}=\binom{n+m-2}{m-1}\dfrac{\ln^{p+1}(x)}{p+1}+p!\sum_{k=0}^{p}\frac{\ln^{k}(x)}{k!}\left\{(-1)^{p+k}\sum_{t=0}^{m-1}\text{Li}_{p+1-k-t}(x)\sum_{r=t+1}^{m}\dfrac{\binom{n+m-1-r}{n-1}}{(r-1)!}{r-1\brack t} -\sum_{t=2}^{n}\binom{n+m-1-t}{m-1}\dfrac{(t-1)^{k-p-1}}{x^{t-1}}\right\}\\ \left(n \in \mathbb{N},n\geq 1,\,p\in\mathbb{N}_{0}\right)\end{gather*}\]

I.Táblázatok

II. Paramáterek

3
4
3

III. Parciális törtekre bontás

\[\dfrac{1}{x^{n}\,(1-x)^{m}}=\sum_{k=1}^{n}{n+m-1-k \choose m-1}\frac{1}{x^{k}}+\sum_{k=1}^{m}{n+m-1-k \choose n-1}\frac{1}{(1-x)^{k}}\,\,\,\left(n,m\in\mathbb{N}\right) \]

IV. \(\dfrac{1}{(1-x)^{k}}\) tényezők átírása

Mivel , ezért elegendő kiszámítani az integrált, ahol \(f(x)\) a parciális törtekre bontással nyert eredményből a(z) \(\dfrac{1}{x}\) tényező elhagyásával kapott függvényt jelöli. Az alábbi képlet segítségével \(f(x)\) felírható olyan összeg formájában, amelyben már csak \(x\) negatív hatványai, és azoknak nulla, vagy negatív rendű polilogaritmusokkal vett szorzatai fordulnak elő.

\[\dfrac{1}{(1-x)^{n}}=\dfrac{1}{(n-1)!\cdot x}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\ k \end{bmatrix}\,\text{Li}_{-k}(x) \]

Az integrál pedig már aránylag könnyen kiszámítható parciális integrálással úgy, hogy \(\ln^{p}(x)\) kerül a D-sorba, \(f(x)\) pedig az I-sorba

V. A végeredmény kiszámítása

Észrevétel: Elegendő az első sort ismerni, mert a többi ebből már már megkapható egy könnyen megjegyezhető séma szerint (első mátrix). Másrészt, az Li-k egy úgynevezett Hasse mátrixot alkotnak, ami azt jelenti, hogy a főátlóval párhuzamosan azonos értékek találhatók (második mátrix). Az x-ek negatív hatványai pedig oszloponként változatlanok.